Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es un resultado que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

Ejemplo 1.-

Un médico ha observado que el 40% de sus pacientes fuma y de estos, el 75%

son hombres. Entre los que no fuman, el 60% son mujeres. Calcula la

probabilidad de: 

a) Un paciente no fumador sea hombre.                 

P(H/F°)= 0.4

b) Un paciente sea hombre fumador.

Al igual que antes y por la distinción que hemos hecho en el razonamiento

anterior, ahora se trata de una intersección y no una condicionada.

P(F ^H)= P(F)*P(H/F)=0.4*0.75=0.3

c) Un paciente sea mujer

Esto es claramente y mirando a nuestro árbol, probabilidad total.

P(M)= (P(F)*P(M/F) )+(P(F°)*P(H/F°))= (0.4*0.25)+(0.6+0.6)=0.46

d) Sabiendo que el paciente ha sido hombre, qué probabilidad hay de que sea

fumador.

P(H)=1-P(M)=1-0.46=0.54

P(F/H)=   (P(F^H)/P(H))=(P(F)*P(H/F))/(P(H))=0.3/0.54=0.5

Se puede comprobar los datos en la tabla de probabilidad.

Ejemplo2.-

Se realiza una encuesta sobre las preferencias de vivir en la ciudad o en

urbanizaciones cercanas. Del total de la población encuestada el 60% son

mujeres, de las cuales prefieren vivir en la ciudad un 73%. Se sabe que la

probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, desee vivir en la ciudad

es 0.62, en otras palabras P(C )=0.62.

a)Calcule la probabilidad de que elegido un hombre al azar, prefiera vivir en la ciudad. 

Si P( H^C)= 0.62   entonces despejamos la formula.

P(M)*P(C/M) + P(H)*P(C/H)=0.62   (0.6*0.73)+(0.4*x)=0.62 

ahora volvemos a despejar x y obtenemos el resultado: x=0.455.

b) Supuesto que una persona, elegida al azar, desee vivir en la ciudad, calcule

la probabilidad de que sea mujer.

P(M^C)=(P(M^C)/P(C )= (0.6*0.73)/0.62 =0.706

Se puede comprobar los resultados en la tabla de probabilidad